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数学
「初中数学」一道二次函数题的思考
发布时间:01-11 07:34发布人:潘永俊点击量:60

「初中数学」一道二次函数题的思考

一个数学爱好者 2019-01-10 07:03:08
「初中数学」一道二次函数题的思考

【题目呈现】

如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=一1,且经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴的另一个交点为B.

(1)若直线y=mx+n经过B,C两点,求直线BC和抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴x=一1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求点M的坐标;

(3)设点P为抛物线的对称轴x=一1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.

「初中数学」一道二次函数题的思考

【分析】(1)利用待定系数法可求两函数的解析式,由于简单只写答案.抛物线的解析式为y=一x2一2x+3,直线BC的解析式为y=x+3.

(2)是典型的将军饮马问题.由于点A(1,0)与点B(一3,0)关于对称轴直线x=一1对称,则直线BC与直线×=一1的交点,就是使MA十MC最小的点M,∴把x=一1代入直线y=x+3,得y=2,∴所求的点M为(一1,2).

(3)这才是本文的重点,此问是二次函数背景下的直角三角形存在性问题,遇到此类问题该如何考虑呢?

【策略】抓住运动中的不变量,以不变应万变,万变不离其宗,充分研究题目中给定的信息,甚至挖掘"隐藏"的不变量,运用分类讨论的思想,转化的思想,使题目分类明确,转化信息,用已掌握的、熟练的方法来解决问题.本题中∠OBC=45°这个"隐藏"的信息非常有用.

【方法】常见的方法,大了说,就是:代数法与几何法.代数法,就是设出未知数,依据条件表示相关的量,进而列出方程进行求解.若题是多动点问题,代数法表示出相关的量可能未知数的次数高,或者未知数多,计算量大,理论上行得通,但考查上时间如金,往往不采用;若是单动点问题,相关的量已知或易于表示,未知数少易于解答同时分类简单明晰.几何法,能够很好的利用题中的信息,运用相关的定理,简化了计算量,但往往分类情况多且需一一画图,大多时候往往是代数,几何混合解题,既分类明晰,又计算简捷,体现了数与形的完善结合,正所谓,数缺形时少直观,形缺数时难入微。

【代数法】

设P点坐标为(一1,t),又B点坐标为(一3,0),C点坐标为(0,3),∴BC2=18,PB2=(一1+3)2+t2=4+t2,PC2=(一1)2+(t一3)2=t2一6t+10.

若B为直角顶点,则BC2+PB2=PC2,即18+4+t2=t2一6t+10,解得t=一2;

若C为直角顶点,则BC2+PC2=PB2,即18+t2一6t+10=4+t2,解得t=4;

若P为直角顶点,则PB2+PC2=BC2,即4+t2+t2一6t+10=18,解得t1=3/2+√17/2,t2=3/2一√17/2.

综上所述,满足条件的点P共有4个,分别为(一1,一2)或(一1,4)或(一1,3/2+√17/2)或(一1,3/2一√17/2).

几何法

因点P在对称轴直线x=一1上,又由于△BPC为直角三角形,故可分三种情况讨论:

(一).当点B为直角顶点时,点P在直线BC下方的对称轴上,如图,

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设对称轴x=一1与x轴交于E点,∵OB=OC=3,∴∠OBC=∠OCB=45°,紧抓这一不变量,而∠CBP=90°,∴∠PBE=45°,可得△BEP为等腰直角三角形,∴BE=PE=OB一OE=2,∴P点坐标为(一1,2).

(二)当点C为直角顶点时,点P为直线BC上方的对称轴上,如图

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设对称轴直线x=一1与x轴交于点E,与直线BC交于点M,由于∠OBC=45°,则∠BME=∠CMP=45°,则△BEM为等腰直角三角形,BE=ME=2,过点C作CN⊥对称轴于N,则△CNM,与△PCM都是等腰直角三角形,∴PM=2CN=2,则PE=PM+EM=4,∴P点坐标为(一1,4).

(三)当点P为直角顶点时,点P可以在BC上方的对称轴上,也可在BC下方的对称轴上.

当点P在BC上方的对称轴上时,如图,

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过点P作PK⊥y轴于K,由于△BEP,△PKC,△BOC都为直角三角形,可考虑用勾股定理解题,设P点坐标为(一1,t),(t>3),则KC=t一3,易知BE=2,PE=t,PK=1,∴BC2=OB2+OC2=BP2+CP2,而BP2=BE2+PE2,CP2=PK2+CK2,∴OB2+OC2=BE2+PE2+PK2+CK2,即32+32=22+t2+12+(t一3)2,解得t1=3/2+√17/2,t2=3/2一√17/2(舍去).∴P点坐标为(一1,3/2十√17/2).

另,可过P作MN∥x轴交y轴于N,过点B作y轴的平行线交MN于M,如图

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这时在MN这一条线上出现了三个直角,可用一线三垂直模型来解决,易知△MBP∽△NPC,设P点坐标为(一1,t),则MP=2,PN=1,NC=t一3,MB=t,∴MB/PN=MP/NC,即t/1=2/(t一3),∴t2一3t一2=0,解得t1=3/2十√17/2,t2=3/2一√17/2(舍去),∴P点坐标为(一1,3/2+√17/2).

当点P在直线BC下方的对称轴上时,如图

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设对称轴与x轴交于E点,由于∠BCP<∠BCO=45°,∴∠CBP>∠CBO=45°,∴P点在E点下方,作PN⊥y轴于N,设P点坐标为(一1,t),(t<0),CN=3一t,易知BC2=BP2+PC2,BP2=BE2+EP2,PC2=PN2+CN2,∴BC2=BE2+EP2+PN2+CN2,即18=22+(一t)2+12+(3一t)2,解得t1=3/2一√17/2,t2=3/2+√17/2(舍去),∴P点坐标为(一1,3/2一√17/2).

另,可过P作MN∥x轴交y轴于N,过B点作y轴的平行线交MN于M,如图

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易知△MBP∽△NPC,设P(一1,t),(t<0),则MP=2,PN=1,NC=3一t,BM=一t,∴MB/PN=MP/NC,即一t/1=2/(3一t),解得t1=3/2一√17/2,t2=3/2+√17/2(舍去),∴P点坐标为(一1,3/2一√17/2).

综上,P点坐标为(一1,一2)或(一1,4)或(一1,3/2+√17/2)或(一1,3/2一√17/2).

【总结】代数法,几何法,各有千秋,一般相互结合甚是完美,同学们认真体会.

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